Filtre passe-bas

Définition

Un filtre passe-bas est un circuit qui laisse passer les signaux de basse fréquence tout en atténuant progressivement les signaux de haute fréquence.

On peut réaliser un filtre passe-bas très simplement avec une résistance et un condensateur, comme montré ci-dessous.

Dans ce montage :

• $V_E$ est le signal d’entrée du filtre ;
• $V_S$ est le signal de sortie ;
• $R$ est la résistance ;
• $C$ est le condensateur.

L’idée importante à comprendre est que le condensateur ne se comporte pas de la même manière selon la fréquence du signal.

À basse fréquence, l’impédance du condensateur est élevée : le condensateur s’oppose davantage au passage du courant.

À haute fréquence, son impédance devient faible : le condensateur conduit davantage le signal vers la masse.

C’est cette dépendance à la fréquence qui permet au circuit de réaliser un filtrage.

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Fonction de transfert

Le montage peut être vu comme un pont diviseur de tension constitué de la résistance $R$ et de l’impédance du condensateur $Z_C$.

L’impédance d’un condensateur vaut :

$$Z_C=\frac{1}{j\omega C}$$

On peut donc écrire :

$$V_S=\frac{Z_C}{R+Z_C}{V}_E$$

En remplaçant $Z_C$ par son expression :

$$V_S=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}{V}_E$$

Après simplification :

$$V_S=\frac{1}{1+j\omega RC}{V}_E$$

avec :

$$\omega =2\pi f$$

où :

• $\omega$ est la pulsation en rad/s ;
• $f$ est la fréquence en Hz ;
• $RC$ est la constante de temps du circuit.

Le rapport entre le signal de sortie et le signal d’entrée est appelé fonction de transfert. On la note généralement $H(j\omega )$ :

$$H(j\omega )=\frac{V_S}{V_E}$$

On obtient donc :

$$\boxed{{\displaystyle H(j\omega )=\frac{1}{1+j\omega RC}}}$$

ou, en fonction de la fréquence :

$$\boxed{{\displaystyle H(j\omega )=\frac{1}{1+j2\pi fRC}}}$$

Cette fonction de transfert va nous permettre de déterminer précisément comment le filtre se comporte en fonction de la fréquence.

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Comprendre le comportement du filtre

Avant de faire des calculs détaillés, on peut déjà comprendre le comportement du filtre en étudiant deux situations extrêmes.

À basse fréquence

Lorsque la fréquence tend vers zéro :

$$\omega \to 0$$

Le terme $j\omega RC$ devient négligeable devant 1. On obtient alors :

$$H(j\omega )\approx 1$$

et donc :

$$V_S\approx V_E$$

Le signal de sortie est donc presque identique au signal d’entrée.

Le filtre laisse passer les basses fréquences.

À haute fréquence

Lorsque la fréquence devient très grande :

$$\omega \to \mathrm{\infty }$$

Le terme $j\omega RC$ devient très grand devant 1. On obtient alors :

$$H(j\omega )\approx \frac{1}{j\omega RC}$$

Son module tend vers zéro :

$$\mathrm{\mid }H(j\omega )\mathrm{\mid }\to 0$$

et donc :

$$V_S\approx 0$$

Le signal est alors fortement atténué.

Le filtre atténue donc les hautes fréquences.

Conclusion

On retrouve bien le comportement d’un filtre passe-bas :

Basse fréquence → signal peu atténué → haute fréquence → signal fortement atténué

Attention cependant : un filtre réel ne « coupe » pas brutalement les fréquences au-delà d’une certaine valeur. L’atténuation est progressive.

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Fréquence de coupure

Pour étudier plus précisément le filtre, intéressons-nous au module de la fonction de transfert.

On a :

$$\mathrm{\mid }H(j\omega )\mathrm{\mid }=\mid \frac{1}{1+j\omega RC}\mid$$

d’où :

$$\mathrm{\mid }H(j\omega )\mathrm{\mid }=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC{)}^2}}$$

Comme :

$$\omega =2\pi f$$

on obtient :

$$\mathrm{\mid }H(j\omega )\mathrm{\mid }=\frac{1}{\sqrt{1+(2\pi fRC{)}^2}}$$

On définit alors la fréquence de coupure $f_c$ par :

$$\boxed{{\displaystyle f_c=\frac{1}{2\pi RC}}}$$

On peut ainsi écrire le module sous une forme plus simple :

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\mid }H(j\omega )\mathrm{\mid }=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{f}{f_c}\right)}^2}}}}$$

La fréquence de coupure ne représente donc pas une frontière brutale entre une fréquence qui « passe » et une fréquence qui est « coupée ».

Elle correspond au point où le gain du filtre a diminué de 3 dB par rapport à son gain maximal.

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Que se passe-t-il à la fréquence de coupure ?

Lorsque :

$$f=f_c$$

on obtient :

$$\mathrm{\mid }H(j\omega )\mathrm{\mid }=\frac{1}{\sqrt{1+(f_c\mathrm{/}{f}_c{)}^2}}$$

soit :

$$\mathrm{\mid }H(j\omega )\mathrm{\mid }=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Numériquement :

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$$

Cela signifie qu’à la fréquence de coupure, l’amplitude du signal de sortie vaut environ 70,7 % de celle du signal d’entrée.

Le gain en décibels vaut alors :

$$G_{dB}=20{\log }_{10}(\mathrm{\mid }H\mathrm{\mid })$$

Donc :

$$G_{dB}=20{\log }_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx -3dB$$

C’est pourquoi on parle également de fréquence de coupure à −3 dB.

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Comparaison entre la fréquence du signal et la fréquence de coupure

On peut maintenant comparer la fréquence du signal $f$ à la fréquence de coupure $f_c$.

Si $f\ll f_c$

La fréquence du signal est très inférieure à la fréquence de coupure.

On a alors :

$$\mathrm{\mid }H(j\omega )\mathrm{\mid }\approx 1$$

Le signal est très peu atténué.

Si $f=f_c$

On a :

$$\mathrm{\mid }H(j\omega )\mathrm{\mid }=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$$

Le gain est de :

$$-3dB$$

Si $f\gg f_c$

La fréquence du signal est très supérieure à la fréquence de coupure.

Le module devient faible :

$$\mathrm{\mid }H(j\omega )\mathrm{\mid }\ll 1$$

Le signal est donc fortement atténué.

On peut résumer le comportement ainsi :

Fréquence	Comportement
$f\ll f_c$	Signal très peu atténué
$f=f_c$	Atténuation de −3 dB
$f\gg f_c$	Signal fortement atténué

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Gain en décibels

Pour visualiser plus facilement l’atténuation du filtre, on exprime généralement son gain en décibels (dB).

Pour un rapport de tension, on utilise :

$$\boxed{{\displaystyle G_{dB}=20{\log }_{10}(\mathrm{\mid }H(j\omega )\mathrm{\mid })}}$$

En remplaçant le module par son expression :

$$G_{dB}=20{\log }_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{f}{f_c}\right)}^2}}\right)$$

À basse fréquence, lorsque $f\ll f_c$ :

$$\mathrm{\mid }H\mathrm{\mid }\approx 1$$

et donc :

$$G_{dB}\approx 20{\log }_{10}(1)=0dB$$

Le signal est donc pratiquement transmis sans atténuation.

À la fréquence de coupure :

$$G_{dB}=-3dB$$

Et lorsque la fréquence devient très supérieure à $f_c$, le gain diminue progressivement.

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Déphasage

Le filtre ne modifie pas uniquement l’amplitude du signal : il provoque également un déphasage entre le signal d’entrée et le signal de sortie.

La phase de la fonction de transfert vaut :

$$\varphi (H(j\omega ))=\arg (H(j\omega ))$$

soit :

$$\boxed{{\displaystyle \varphi (H(j\omega ))=-\arctan (\omega RC)}}$$

Comme :

$$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$$

on peut également écrire :

$$\boxed{{\displaystyle \varphi (H(j\omega ))=-\arctan \left(\frac{f}{f_c}\right)}}$$

À basse fréquence

Lorsque :

$$f\ll f_c$$

on a :

$$\varphi \approx 0^{\circ }$$

Le signal de sortie est donc pratiquement en phase avec le signal d’entrée.

À la fréquence de coupure

Lorsque :

$$f=f_c$$

on obtient :

$$\varphi =-\arctan (1)$$

donc :

$$\boxed{{\displaystyle \varphi =-{45}^{\circ }}}$$

À haute fréquence

Lorsque :

$$f\gg f_c$$

la phase tend vers :

$$\boxed{{\displaystyle \varphi \to -{90}^{\circ }}}$$

Le déphasage augmente donc progressivement de $0^{\circ }$ à $-{90}^{\circ }$ lorsque la fréquence augmente.

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Diagramme de Bode

Pour visualiser l’effet du filtre, on peut tracer deux courbes :

• le gain en dB en fonction de la fréquence ;
• la phase en fonction de la fréquence.

Ces deux courbes constituent le diagramme de Bode.

La courbe Magnitude représente le gain :

$$G_{dB}=20{\log }_{10}(\mathrm{\mid }H\mathrm{\mid })$$

La courbe Phase représente le déphasage du signal de sortie par rapport au signal d’entrée.

Gain

Lorsque :

$$f\ll f_c$$

le gain est proche de :

$$0dB$$

Le signal est donc très peu atténué.

Lorsque :

$$f\gg f_c$$

le gain diminue avec une pente de :

$$\boxed{{\displaystyle -20dB\mathrm{/}d\acute{e}cade}}$$

Cela signifie que lorsque la fréquence est multipliée par 10, le gain diminue d’environ 20 dB.

Par exemple :

Pour :

$$f=10f_c$$

on obtient environ :

$$G_{dB}\approx -20dB$$

Pour :

$$f=100f_c$$

on obtient environ :

$$G_{dB}\approx -40dB$$

Pour :

$$f=1000f_c$$

on obtient environ :

$$G_{dB}\approx -60dB$$

On retrouve donc bien une diminution de 20 dB à chaque fois que la fréquence est multipliée par 10.

Phase

Pour :

$$f\ll f_c$$

la phase est proche de :

$$0^{\circ }$$

À la fréquence de coupure :

$$f=f_c$$

la phase vaut :

$$-{45}^{\circ }$$

Et pour :

$$f\gg f_c$$

la phase tend vers :

$$-{90}^{\circ }$$

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Exemple pratique : réaliser un filtre passe-bas à 20 kHz

Supposons que l’on souhaite réaliser un filtre passe-bas dont la fréquence de coupure est :

$$f_c=20kHz$$

Cela signifie qu’à 20 kHz, le gain du filtre sera déjà de −3 dB. Les fréquences supérieures seront progressivement davantage atténuées.

On part de la formule :

$$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$$

On cherche donc le produit $RC$ :

$$RC=\frac{1}{2\pi f_c}$$

Avec :

$$f_c=20kHz$$

on obtient :

$$RC=\frac{1}{2\pi \times 20\times {10}^3}$$

soit :

$$\boxed{{\displaystyle RC\approx 7,96\mu s}}$$

Il faut maintenant choisir une valeur de condensateur, puis calculer la résistance correspondante.

Choisissons par exemple :

$$C=1nF$$

On obtient :

$$R=\frac{RC}{C}$$

donc :

$$R=\frac{7,96\times {10}^{-6}}{1\times {10}^{-9}}$$

soit :

$$\boxed{{\displaystyle R\approx 7,96k\mathrm{\Omega }}}$$

On peut donc théoriquement réaliser ce filtre avec :

$$\boxed{{\displaystyle R=7,96k\mathrm{\Omega }}}$$

et :

$$\boxed{{\displaystyle C=1nF}}$$

Dans la pratique, on choisira une valeur normalisée de résistance proche de cette valeur. Il faudra alors recalculer la fréquence de coupure réelle obtenue avec les composants disponibles.

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À retenir

Pour un filtre passe-bas RC :

Fonction de transfert

$$\boxed{{\displaystyle H(j\omega )=\frac{1}{1+j\omega RC}}}$$

Fréquence de coupure

$$\boxed{{\displaystyle f_c=\frac{1}{2\pi RC}}}$$

Module

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\mid }H\mathrm{\mid }=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{f}{f_c}\right)}^2}}}}$$

Gain à la fréquence de coupure

$$\boxed{{\displaystyle G_{dB}=-3dB}}$$

Phase

$$\boxed{{\displaystyle \varphi =-\arctan \left(\frac{f}{f_c}\right)}}$$

Comportement

• Pour $f\ll f_c$ : le signal passe presque sans atténuation.
• Pour $f=f_c$ : le gain vaut −3 dB et la phase vaut −45°.
• Pour $f\gg f_c$ : le signal est fortement atténué et la phase tend vers −90°.
• Dans la bande atténuée, le gain diminue à raison d’environ −20 dB/décade.

Le filtre passe-bas RC est donc l’un des filtres les plus simples, mais aussi l’un des plus importants à comprendre : il permet d’introduire les notions de fonction de transfert, fréquence de coupure, gain, décibels, phase et diagramme de Bode.