Filtre passe-haut – TransistorLand

Définition

Un filtre passe-haut est un circuit qui laisse passer les signaux de haute fréquence tout en atténuant progressivement les signaux de basse fréquence.

On peut réaliser un filtre passe-haut très simplement avec une résistance et un condensateur, comme montré ci-dessous.

[figure filtre passe-haut RC]

Dans ce montage :

$V_E$ est le signal d’entrée du filtre ;
$V_S$ est le signal de sortie ;
$R$ est la résistance ;
$C$ est le condensateur.

L’idée importante à comprendre est que le condensateur ne se comporte pas de la même manière selon la fréquence du signal.

À basse fréquence, l’impédance du condensateur est élevée : il s’oppose davantage au passage du courant.

À haute fréquence, son impédance devient faible : il laisse davantage passer le signal vers la résistance.

C’est cette dépendance à la fréquence qui permet au circuit de réaliser un filtrage.

Fonction de transfert

Le montage peut être vu comme un pont diviseur de tension constitué de l’impédance du condensateur $Z_C$ et de la résistance $R$ .

L’impédance d’un condensateur vaut :

$Z_C=\frac{1}{j\omega C}$

On peut donc écrire :

$V_S=\frac{R}{R+Z_C}V_E$

En remplaçant $Z_C$ par son expression :

$V_S= \frac{R} {R+\frac{1}{j\omega C}} V_E$

Après simplification :

$V_S=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}V_E$

avec :

$\omega=2\pi f$

où :

$\omega$ est la pulsation en rad/s ;
$f$ est la fréquence en Hz ;
$RC$ est la constante de temps du circuit.

Le rapport entre le signal de sortie et le signal d’entrée est appelé fonction de transfert. On la note généralement $H(j\omega)$ :

$H(j\omega)=\frac{V_S}{V_E}$

On obtient donc :

$\boxed{H(j\omega)=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}}$

ou, en fonction de la fréquence :

$\boxed{H(j\omega)=\frac{j2\pi fRC}{1+j2\pi fRC}}$

Cette fonction de transfert va nous permettre de déterminer précisément comment le filtre se comporte en fonction de la fréquence.

Comprendre le comportement du filtre

Avant de faire des calculs détaillés, on peut déjà comprendre le comportement du filtre en étudiant deux situations extrêmes.

À basse fréquence

Lorsque la fréquence tend vers zéro :

$\omega\rightarrow0$

Le terme $j\omega RC$ devient très petit. On obtient alors :

$H(j\omega)\approx0$

et donc :

$V_S\approx0$

Le signal de sortie est donc fortement atténué.

Le filtre atténue les basses fréquences.

À haute fréquence

Lorsque la fréquence devient très grande :

$\omega\rightarrow\infty$

Le terme $j\omega RC$ devient très grand devant 1. On obtient alors :

$H(j\omega)\approx1$

et donc :

$V_S\approx V_E$

Le signal de sortie devient presque identique au signal d’entrée.

Le filtre laisse donc passer les hautes fréquences.

Conclusion

On retrouve bien le comportement d’un filtre passe-haut :

Basse fréquence → signal fortement atténué → haute fréquence → signal peu atténué

Attention cependant : un filtre réel ne « coupe » pas brutalement les fréquences en dessous d’une certaine valeur. L’atténuation est progressive.

Fréquence de coupure

Pour étudier plus précisément le filtre, intéressons-nous au module de la fonction de transfert.

On a :

$|H(j\omega)| = \left| \frac{j\omega RC}{1+j\omega RC} \right|$

d’où :

$|H(j\omega)| = \frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}$

Comme :

$\omega=2\pi f$

on obtient :

$|H(j\omega)| = \frac{2\pi fRC} {\sqrt{1+(2\pi fRC)^2}}$

On définit alors la fréquence de coupure $f_c$ par :

$\boxed{f_c=\frac{1}{2\pi RC}}$

On peut ainsi écrire le module sous une forme plus simple :

$\boxed{ |H(j\omega)| = \frac{\frac{f}{f_c}} {\sqrt{1+\left(\frac{f}{f_c}\right)^2}} }$

La fréquence de coupure ne représente donc pas une frontière brutale entre une fréquence qui « passe » et une fréquence qui est « coupée ».

Elle correspond au point où le gain du filtre vaut −3 dB par rapport à son gain maximal.

Que se passe-t-il à la fréquence de coupure ?

Lorsque :

$f=f_c$

on obtient :

$|H(j\omega)| = \frac{1} {\sqrt{1+(f_c/f_c)^2}}$

soit :

$|H(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt2}$

Numériquement :

$\frac{1}{\sqrt2}\approx0,707$

Cela signifie qu’à la fréquence de coupure, l’amplitude du signal de sortie vaut environ 70,7 % de celle du signal d’entrée.

Le gain en décibels vaut alors :

$G_{dB}=20\log_{10}(|H|)$

Donc :

$G_{dB} = 20\log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) \approx-3\,dB$

C’est pourquoi on parle également de fréquence de coupure à −3 dB.

Comparaison entre la fréquence du signal et la fréquence de coupure

On peut maintenant comparer la fréquence du signal $f$ à la fréquence de coupure $f_c$ .

Si f≪fcf\ll f_c

La fréquence du signal est très inférieure à la fréquence de coupure.

On a alors :

$|H(j\omega)|\approx0$

Le signal est fortement atténué.

Si f=fcf=f_c

On a :

$|H(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt2}\approx0,707$

Le gain est de :

$-3\,dB$

Si f≫fcf\gg f_c

La fréquence du signal est très supérieure à la fréquence de coupure.

Le module tend vers :

$|H(j\omega)|\approx1$

Le signal est donc très peu atténué.

On peut résumer le comportement ainsi :

Fréquence	Comportement
$f\ll f_c$	Signal fortement atténué
$f=f_c$	Atténuation de −3 dB
$f\gg f_c$	Signal très peu atténué

Gain en décibels

Pour visualiser plus facilement l’atténuation du filtre, on exprime généralement son gain en décibels (dB).

Pour un rapport de tension, on utilise :

$\boxed{G_{dB}=20\log_{10}(|H(j\omega)|)}$

En remplaçant le module par son expression :

$G_{dB} = 20\log_{10} \left( \frac{\frac{f}{f_c}} {\sqrt{1+\left(\frac{f}{f_c}\right)^2}} \right)$

À basse fréquence, lorsque $f\ll f_c$ , le module est proche de zéro et le gain est donc fortement négatif.

À la fréquence de coupure :

$G_{dB}=-3\,dB$

Lorsque la fréquence devient très supérieure à $f_c$ :

$|H|\approx1$

et donc :

$G_{dB}\approx0\,dB$

Le signal est alors pratiquement transmis sans atténuation.

Déphasage

Le filtre ne modifie pas uniquement l’amplitude du signal : il provoque également un déphasage entre le signal d’entrée et le signal de sortie.

La phase de la fonction de transfert vaut :

$\varphi(H(j\omega)) = \arg(H(j\omega))$

soit :

$\boxed{ \varphi(H(j\omega)) = 90^\circ-\arctan(\omega RC) }$

Comme :

$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$

on peut également écrire :

$\boxed{ \varphi(H(j\omega)) = 90^\circ-\arctan\left(\frac{f}{f_c}\right) }$

À basse fréquence

Lorsque :

$f\ll f_c$

on a :

$\varphi\approx90^\circ$

Le signal de sortie est donc en avance de phase d’environ $90^\circ$ par rapport au signal d’entrée.

À la fréquence de coupure

Lorsque :

$f=f_c$

on obtient :

$\varphi = 90^\circ-\arctan(1)$

donc :

$\boxed{\varphi=45^\circ}$

À haute fréquence

Lorsque :

$f\gg f_c$

la phase tend vers :

$\boxed{\varphi\rightarrow0^\circ}$

Le déphasage diminue donc progressivement de $90^\circ$ à $0^\circ$ lorsque la fréquence augmente.

Diagramme de Bode

Pour visualiser l’effet du filtre, on peut tracer deux courbes :

le gain en dB en fonction de la fréquence ;
la phase en fonction de la fréquence.

Ces deux courbes constituent le diagramme de Bode.

[figure diagramme de Bode du filtre passe-haut]

La courbe Magnitude représente le gain :

$G_{dB}=20\log_{10}(|H|)$

La courbe Phase représente le déphasage du signal de sortie par rapport au signal d’entrée.

Gain

Lorsque :

$f\ll f_c$

le gain est fortement négatif.

Le signal est donc fortement atténué.

Lorsque :

$f\gg f_c$

le gain tend vers :

$0\,dB$

Le signal est alors pratiquement transmis sans atténuation.

Dans la bande des basses fréquences, le gain augmente avec une pente de :

$\boxed{+20\,dB/décade}$

Cela signifie que lorsque la fréquence est multipliée par 10, le gain augmente d’environ 20 dB.

Par exemple :

Pour :

$f=0,1f_c$

on obtient environ :

$G_{dB}\approx-20\,dB$

Pour :

$f=0,01f_c$

on obtient environ :

$G_{dB}\approx-40\,dB$

Pour :

$f=0,001f_c$

on obtient environ :

$G_{dB}\approx-60\,dB$

On retrouve donc bien une augmentation de 20 dB à chaque fois que la fréquence est multipliée par 10.

Phase

Pour :

$f\ll f_c$

la phase est proche de :

$+90^\circ$

À la fréquence de coupure :

$f=f_c$

la phase vaut :

$+45^\circ$

Et pour :

$f\gg f_c$

la phase tend vers :

$0^\circ$

Exemple pratique : réaliser un filtre passe-haut à 20 kHz

Supposons que l’on souhaite réaliser un filtre passe-haut dont la fréquence de coupure est :

$f_c=20\,kHz$

Cela signifie qu’à 20 kHz, le gain du filtre sera de −3 dB. Les fréquences inférieures seront progressivement davantage atténuées.

On part de la formule :

$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$

On cherche donc le produit $RC$ :

$RC=\frac{1}{2\pi f_c}$

Avec :

$f_c=20\,kHz$

on obtient :

$RC= \frac{1}{2\pi\times20\times10^3}$

soit :

$\boxed{RC\approx7,96\,\mu s}$

Il faut maintenant choisir une valeur de condensateur, puis calculer la résistance correspondante.

Choisissons par exemple :

$C=1\,nF$

On obtient :

$R=\frac{RC}{C}$

donc :

$R= \frac{7,96\times10^{-6}} {1\times10^{-9}}$

soit :

$\boxed{R\approx7,96\,k\Omega}$

On peut donc théoriquement réaliser ce filtre avec :

$\boxed{R=7,96\,k\Omega}$

et :

$\boxed{C=1\,nF}$

Dans la pratique, on choisira une valeur normalisée de résistance proche de cette valeur. Il faudra alors recalculer la fréquence de coupure réelle obtenue avec les composants disponibles.

À retenir

Pour un filtre passe-haut RC :

Fonction de transfert

$\boxed{ H(j\omega)=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC} }$

Fréquence de coupure

$\boxed{ f_c=\frac{1}{2\pi RC} }$

Module

$\boxed{ |H|= \frac{\frac{f}{f_c}} {\sqrt{1+\left(\frac{f}{f_c}\right)^2}} }$

Gain à la fréquence de coupure

$\boxed{ G_{dB}=-3\,dB }$

Phase

$\boxed{ \varphi= 90^\circ-\arctan\left(\frac{f}{f_c}\right) }$

Comportement

Pour $f\ll f_c$ : le signal est fortement atténué.
Pour $f=f_c$ : le gain vaut −3 dB et la phase vaut +45°.
Pour $f\gg f_c$ : le signal passe presque sans atténuation et la phase tend vers 0°.
Dans la bande atténuée, le gain augmente à raison d’environ +20 dB/décade.

Le filtre passe-haut RC est donc l’un des filtres les plus simples, mais aussi l’un des plus importants à comprendre : il permet d’introduire les notions de fonction de transfert, fréquence de coupure, gain, décibels, phase et diagramme de Bode.